Ja, det går veldig greit. Fortegnslinjen brukes for å visualisere resultatet. Det er overhodet ikke
nødvendig.
- Først, så kjennetegnes andregradsligninger ved at de passerer null i to punkter. Tredjegradsligninger i tre punkter, og slik fortsetter det. Det fins også såkalte saddelpunkter, men det er en digresjon.
- Hver gang et polynom passerer null så endrer den fortegn. Intuitivt så virker dette åpenbart. Tegn en annengradskurve på et papir hvis du vil. Merk at funksjonen passerer null i nullpunkter, som også er løsningene av ligningen.
- Hva betyr dette? Jo, at hvis kurven er negativ før et nullpunkt så er den positiv etter nullpunktet. Og omvendt.
- Så først løser vi ligningen. Da får vi at ligningen er lik null i x=50 og x=100. Vi trenger da å vite verdien til funksjonen i et eller annet punkt. Jeg anbefaler i punktet null, siden det involverer minst regning. U(0) = 0.05*0^2 - 7.5*0 + 420 - 170 = 250.
- Altså er funksjonen positiv før 50, negativ etter 50 og positiv etter 100. Altså er den negativ i intervallet (50, 100).
- Alternativt kan man velge en verdi mellom de to nullpunktene. Hvis verdien er negativ der så er verdien negativ i hele intervallet mellom nullpunktene og positiv utenfor. Eller omvendt. Her kunne vi for eksempel valgt punktet v = 80. Da ville vi fått U(80) = 0.05*6400 - 7.5*80 + 250 = 5*64 - 7.5*80 + 250 = 320 - 600 + 250 = -30 < 0.
Håper det ga mening. Jeg bruker aldri fortegnslinje selv, da jeg ikke har noe behov for det. Det er et visualiseringsverktøy som ikke påvirker løsningsmetodene noe særlig, og kan fort være mer arbeid enn det er verdt.
Jeg hang med helt til jeg kom til det siste tallet i utregningen din, og hva det sa deg... da datt jeg litt av lasset ;O Kan du si meg på hvilken måte tallet 250 sier noe om hvilke deler av utregningen som er positiv eller ikke? Og hvilke andre tall som hadde gitt andre løsninger, med de samme nullpunktene?
Skal vi se. Jeg starter på nytt igjen i punkt 4.
Det vi vet da er de to nullpunktene. Vi vet at når vi passerer et av nullpunktene på tallinja, da bytter vi fortegn. Ja? Det vil si at hvis vi vet om U(
v) er positivt ved et punkt
v, så vet vi at alle tallene rundt
v er positive, helt til vi passerer et nullpunkt.
Det jeg gjør er at jeg regner ut funksjonsverdien U i punktet null, dvs. U(0) = 250. Det eneste som er viktig er å se på om U(0) er positivt eller negativt. 250 er positivt, så da er U positiv i det intervallet som 0 ligger i. Hvilken intervall har vi egentlig?
Jo, vi har nullpunkter i v=50 og v=100. Da har vi intervallene
- (-uendelig, 50)
- (50, 100)
- (100, uendelig)
v = 0 er i intervallet (-uendelig, 50). Da er det intervallet positivt. Det neste er negativt, det vil si alle tall i intervallet (50, 100) er negative. Det neste er positivt igjen, det vil si at alle tall i (100, uendelig) er positive.
I det siste punktet mitt i innlegget sitert ovenfor så velger jeg et annet punkt. Da velger jeg v = 80. Da får jeg at U(80) = -30, som er negativt. Da vet jeg at intervallet (50, 100) er negativt. Det er fordi hvis ett tall i intervallet mellom nullpunkter er negativt så må alle tallene der være negative. Det samme gjelder for positive verdier.
Gir det mer mening?
Skjønte hva du mente i metode nr. 2
Det med derivasjon forsto jeg ikke døyten av, men kan jo spørre hvis jeg kommer til det en gang xD
deadmau5 forklarte det bra. Men siden jeg ikke er i stand til å la være, så kommenterer jeg litt jeg óg.
Den deriverte til en funksjon - man sier at man
deriverer en funksjon og finner funksjonens
deriverte - sier hvor fort funksjonen
vokser. Hvis funksjonen f(x) beskriver hvor langt man har kjørt en bil etter tid
x, så sier f'(x) - merk den apostrofen som sier at det er den deriverte funksjoen - hvor
fort bilen kjører
på tidspunktet x.
Som deadmau5 sier så er derivasjon ganske enkelt. Det er essensielt bare å følge en oppskrift, selv om på mer avanserte tilfeller så må man holde tunge rett i munnen. Men det er ikke vanskelig som så. Integrasjon, som er det motsatte - også kjent som den inverse operasjonen - av derivert, er noe mer krevende.
For å generalisere formelen som deadmau5 skriver, så blir den som følgende, hvis a og b kan være hvilket som helst tall:
f(x) = a*x^(b)
f'(x) = b*a*x^(b-1)
Du ganger leddet med potensen til x i det leddet. Denne funksjonen har bare ett ledd, så da er det lett å holde orden. Så trekker man fra 1 i potensen. Hvis det blir flere ledd så ser den ut som følgende;
f(x) = a*x^(b) + cx^(d-4)
f'(x) = b*a*x^(b-1) + (d-4)*c*x^
(d-4-1) = bax^(b-1) = (d-4)cx^
(d-5)
a, b, c og d er tilfeldige tall.
Et par spesieltilfeller: Husk at x = x^1 og at x^0 = 1. Så den deriverte av
f(x) = a*x = a*x^1
blir da
f'(x) = 1*a*x^(1-1) = a*x^0 = a.
Dette kan tolkes som at hvis bilen kjører med jevn fart, for eksempel 80 km/t, så kan avstanden den har kjørt beskrives som f(x) = 80*x, hvor x er antall timer. Når vi deriverer får vi da at f'(x) = 80. Det vil si at farten er 80km/t uansett hvor lenge man har kjørt. Det stemmer med sånn vi beskrev farten.
Mens hvis
f(x) = a = a*x^0
blir da
f'(x) = 0*a*x = 0
For å fortsette med eksempelet. Bilen står i garasjon hos en venn. Du kjørte 50 km for å komme dit. Dessverre så liker ikke vennen deg lengre, så vennen din kaster deg ut av et vindu. I sjette etasje. Så da blir bilen stående i garasjen hos din tidligere venn - jeg antar at vennskapet ikke overlever, hvis du mot formodning overlever fallet. Bilen har da kjørt 50 km, og hvor langt den har kjørt etter tiden x kan beskrives som f(x) = 50. Det vil at den står stille, og ikke kjører lengre. Når du deriverer, får du da f'(x) = 0. Som betyr at bilen står stille. Whoop, bekreftelse.
Merk at akkurat disse reglene kun gjelder for polynom. Men du kommer ikke utfor noe veldig mer avansert enn det på videregående, og resten kan du lære deg når den tid kommer.
Edit: Du burde antakeligvis skrive ned dette med penn og papir, ikke bare lese. Det vil nok gjøre det
mye lettere å forstå.
